Escribió: «Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico»






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títuloEscribió: «Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico»
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Problemas de ecuaciones y sistemas (y sus soluciones)
EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES

        El idioma del álgebra es la ecuación.
        Isaac Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal escribió: «Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico»
        También mostró con ejemplos como debía efectuarse dicha traducción. He aquí alguno de ellos:

EL COMERCIANTE. Escribimos el enunciado directamente en la tabla:
.

EN LA LENGUA VERNÁCULA

EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA




Un comerciante tenía una determinada suma de dinero

x




El primer año se gastó 100 libras

x - 100




Aumentó el resto con un tercio de éste 

(x-100) + (x-100)/3 = (4x-400)/3




Al año siguiente volvió a gastar 100 libras 

(4x-400)/3 - 100 = (4x-700)/3




y aumentó la suma restante en un tercio de ella 

(4x-700)/3 + (4x-700)/9 = (16x-2800)/9




El tercer año gastó de nuevo 100 libras 

(16x-2800)/9 - 100 = (16x-3700)/9

Después de que hubo agregado su tercera parte 

(16x-3700)/9 + (16x-3700)/27 = (64x-14800)/27




El capital llegó al doble del inicial 

(64x-14800)/27 = 2x




Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última ecuación:  64x - 14800 = 54x,   10x = 14800,    x=1480.




    La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil.
      Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir «la lengua vernácula a la algebraica». Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como se verá.

       Los problemas que aparecerán a continuación serán más o menos originales, por su enunciado, por el procedimiento de resolución, por la solución, etc. etc.
       No siempre se darán las soluciones de forma algebraica.

1.    LA VIDA DE DIOFANTO. La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos esta inscripción:
 

EN LA LENGUA VERNÁCULA

EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA




¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh milagro!, cuán larga fue su vida,

x




cuya sexta parte constituyó su infancia. 

x/6




Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubriose su barbilla. 

x/12




Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril.

x/7




Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, 

5




que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan sólo la mitad de la de su padre a la tierra.

x/2

Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. 

x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4




2.    EL CABALLO Y EL MULO. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: «¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si yo te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía». ¿Cuántos sacos llevaba el caballo, y cuántos el mulo?
 

EN LA LENGUA VERNÁCULA

EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA




Si yo te tomara un saco

x - 1




mi carga

y + 1




sería el doble que la tuya.

y + 1 = 2 (x - 1)




Y si te doy un saco, 

y - 1




tu carga

x + 1




se igualaría a la mía

y - 1 = x + 1

3.    LOS CUATRO HERMANOS. Cuatro hermanos tienen 45 duros. Si el dinero del primero se aumenta en 2 duros, el del segundo se reduce en 2 duros, el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de duros. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?
 

EN LA LENGUA VERNÁCULA

EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA




Los cuatro hermanos tienen 45 duros.

x + y + z + t = 45




Si al dinero del primero se le agregan 2 duros

 x + 2




al del segundo se restan 2 duros

y - 2




el del tercero se duplica

2z




y el del cuarto se divide por, dos, 

t/2




a todos les quedará la misma cantidad de duros.

x+2 = y-2 = 2z = t/2

4.    EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. Un granjero que tiene un rebaño de ovejas muy numeroso descubre una gran singularidad con respecto a su número. Si las cuenta de dos en dos, le sobra 1. Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3, de 4 en 4, etc.... hasta de 10 en 10. ¿Cuál es el rebaño más pequeño que se ajusta a estas condiciones?

5.    COMERCIANTES DE VINOS. Dos comerciantes de vinos entraron en París llevando 64 y 20 barriles de vino respectivamente. Como no tenían dinero suficiente para pagar los derechos de aduana, el primero de ellos dio 5 barriles y 40 francos, mientras que el segundo dio 2 barriles, recibiendo 40 francos como cambio. ¿Cuál era el precio de cada barril y su impuesto aduanero?

6.    EL PRECIO DE LOS HUEVOS. La señora Rogelia compró un cierto número de huevos, por los que pagó 60 ptas. Al volver a casa se le cayó la cesta rompiéndosele 2 huevos, con lo que el precio le resultó 12 ptas. más caro por docena, con respecto al que pagó inicialmente en el supermercado. ¿Cuántos huevos compró la señora Rogelia?

7.    LOS DIEZ ANIMALES. Cincuenta y seis galletas han de servir de comida a diez animales; cada animal es un perro o un gato. Cada perro ha de obtener seis galletas y cada gato, cinco. ¿Cuántos perros y cuántos gatos hay?

8.    LOROS Y PERIQUITOS. Cierta tienda de animales vende loros y periquitos; cada loro se vende a dos veces el precio de un periquito. Entró una señora y compró cinco loros y tres pequeños. Si en vez de eso hubiese comprado tres loros y cinco periquitos habría gastado 20 dólares menos. ¿Cuál es el precio de cada pájaro?

9.    COCHES Y MOTOS. En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre coches y motos. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon?

10.    MONDANDO PATATAS. Dos personas mondaron 400 patatas; una de ellas mondaba tres patatas por minuto, la otra dos. La segunda trabajó 25 minutos más que la primera. ¿Cuánto tiempo trabajó cada una?

11.    EL PRECIO DE LOS LIMONES. Tres docenas de limones cuestan tantos duros como limones dan por 16 duros. ¿Cuánto vale la docena de limones?

12.    LA MÁQUINA DE PETACOS. Unos amigos, antes de echar una moneda en una máquina de petacos, han calculado que, para hacer partida, tienen que conseguir 392.750 puntos cada uno. Uno de ellos ha tenido que marcharse antes de comenzar a jugar con lo que, para obtener la deseada partida, los restantes amigos deben de conseguir 471.300 puntos cada uno. ¿Cuántos eran, inicialmente, los amigos? ¿Cuántos puntos necesitan para hacer partida?

13.    TINTEROS Y CUADERNOS. Antonio ha comprado 5 tinteros y 4 cuadernos por 70 ptas. Luis ha pagado 46 ptas. por 3 tinteros y 4 cuadernos. ¿Cuánto vale un tintero y un cuaderno?

14.    LA BALANZA Y LAS FRUTAS. Sabiendo que 3 manzanas y una pera pesan lo mismo que 10 melocotones, y 6 melocotones y una manzana pesan lo mismo que una pera. ¿Cuántos melocotones serán necesarios para equilibrar una pera?

15.    VENTA DE HUEVOS. Una campesina llegó al mercado a vender huevos. La primera clienta le compró la mitad de todos los huevos más medio huevo. La segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que le quedaban más medio huevo. La tercera clienta sólo compró un huevo. Con esto terminó la venta, porque la campesina no tenía más huevos. ¿Cuántos huevos llevó al mercado la campesina?

16.    LAS MANZANAS DEL HORTELANO. Un hortelano lleva un canasto con manzanas. Encuentra a tres amigos y las da, al primero, la mitad de las manzanas más dos; al segundo, la mitad de las que le quedan más dos y, al tercero, la mitad de las sobrantes más dos. Aún sobró una manzana. ¿Cuántas llevaba al principio?

17.    LAS TIERRAS DEL GRANJERO. Un granjero tenía algunas tierras. Un tercio lo destinaba al cultivo del trigo, un cuarto al cultivo de guisantes, un quinto al cultivo de judías, y en las veintiséis hectáreas restantes cultivaba maíz. ¿Cuántas hectáreas tenía en total?

18.    PASTELES PARA LOS INVITADOS. Cierto día Ana estaba atendiendo a 30 invitados. Tenía 100 pasteles para repartir entre ellos. En lugar de cortar ningún .pastel a trozos, decidió dar 4 pasteles a cada uno de los invitados preferidos, y tres a cada uno de los demás invitados. ¿Cuántos eran sus invitados preferidos?

19.    LOS PASTELES. Ana y Carlos están merendando pasteles. Ana tiene el triple que Carlos. Carlos no estaba muy conforme. A regañadientes, Ana, dio uno de sus pasteles a Carlos. Ahora todavía tenía el doble que Carlos. ¿Cuántos pasteles más tiene que darle Ana a Carlos para que cada uno tenga los mismos? ¿Cuántos pasteles había en total?

20.    MÁS PASTELES. Ana tiene triple de pasteles que Carlos. Diego tiene la mitad que Carlos. Ana tiene 16 pasteles más que Carlos. ¿Cuántos pasteles tiene cada uno?

21.    VENGA PASTELES. Carlos se comió 5/16 de los pasteles que había en la mesa. A continuación Diego se comió 7/11 de los pasteles restantes. Quedaron 8 pasteles para Ana. ¿Cuántos pasteles comió cada uno de los otros dos?
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